Jika \( \vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \) dan \( \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} \). Nilai bilangan positif \(p\) agar panjang proyeksi vektor \(p \vec{a} \) pada vektor \( \vec{b} \) sama dengan 8 adalah…
- \( \frac{1}{3} \sqrt{3} \)
- \( \frac{2}{3} \sqrt{6} \)
- \( \frac{1}{2} \sqrt{3} \)
- \( \frac{4}{3} \sqrt{3} \)
- \( \frac{1}{4} \sqrt{6} \)
Pembahasan:
Dari soal diketahui panjang proyeksi vektor \(p \vec{a} \) pada vektor \( \vec{b} \) sama dengan 8, sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \frac{p\vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{b}| } = 8 \Leftrightarrow \frac{p(3,2,1) \cdot (1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} &= 8 \\[8pt] \frac{(3p,2p, p) \cdot (1,1,1)}{ \sqrt{3} } &= 8 \\[8pt] (3p)(1)+(2p)(1)+(p)(1) &= 8 \sqrt{3} \\[8pt] 3p+2p+p &= 8 \sqrt{3} \\[8pt] 6p &= 8 \sqrt{3} \\[8pt] p &= \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4}{3} \sqrt{3} \end{aligned}
Jawaban D.